在本文中，我们将尝试深入了解电子工程设计中经常碰到而且必须处理的噪声来源的一些最重要的特征。

在电子电路中，噪声是一种有害的干扰，它会降低关注信号的准确性。要分析噪声对系统的影响，我们需要对其行为特性建立一些基本的了解。

在本文中，我们将尝试深入了解电子工程设计中经常碰到而且必须处理的噪声来源的一些最重要的特征。

随机性

噪声是一种随机性的信号，这意味着我们无法根据它之前的值预测其当前的瞬时幅值。图1给出了噪声的一个示例。

图1

如果噪声的瞬时幅值不可知，那么，我们应该如何确定它对系统输出的影响呢？随机并不意味着没有规律。尽管噪声的

瞬时幅值不可预测，但是整体的噪声波形中有一些我们可以预测的其它属性特征。对于我们在电路设计和分析中碰到的那些需要处理的噪声信号来说，整体特征的可预测这个判断基本是正确的。

下面让我们看看可以预测哪些属性，以及如何分析它们，从而为我们的设计工作带来帮助。

噪声幅度直方图

对一个噪声源进行特征提取的第一步，可以是估计某个给定幅值的噪声信号多久会出现一次。为此，我们从噪声波形中提取了大量样本，并创建了幅度直方图。

比方说，假设我们从噪声波形中提取了100,000个样本。 根据这些样本的值，我们可以考虑噪声幅度的可能范围区间。 然后，我们将噪声可能的幅值的整个范围划分为多个连续的不重叠幅度区间，称为bin。 直方图的bin（区间）跨度大小相等。bin的高度则由该区间内噪声幅值的出现次数确定。

图2显示了100,000个随机变量样本的直方图。在这个示例中，直方图具有100个bin，最大样本值和最小样本值分别为4.34和-4.43。

图2

上面的直方图显示了噪声幅度在某个给定区间内取得某个值的频率。比如说，根据上面的直方图显示，零附近的值更有可能出现。

估计幅值分布

上面这个直方图中的信息表示了噪声幅度取得特定幅度值的可能性，但是，这个图是基于一个特定的实验得出来的，这个实验共计采集了100,000个样本。为了和具体的实验解耦，我们通常需要的是与样本数量无关的似然曲线。因此，我们必须以某种方式规范化图2的信息。

显然，我们应该把所有的bin的高度除以某一个相同的值，以使得所获得的曲线仍然可以正确显示不同幅度区间的相对可能性。但是，合适的归一化因子应该取多少呢？我们可以将bin的高度除以样本总数（100,000），以得出这些bin区间内取值的相对出现次数，而不是其绝对值。但是，除了归一化之外，还需要进行其他修改，以得到一个表示概率的曲线。

如前所述，某个区间内的高度表示噪声幅度在这个连续范围内取得区间内取值的总数。

在给定的bin间隔内，所有这些值均使用表示可能性的单个数字表示。 虽然图2中的直方图的值表示似然值，但在概率论中，我们使用密度函数来指定连续变量的似然。 因此，为了使曲线正确地显示概率密度，我们应将bin高除以bin宽，这样得出的归一化曲线是可变概率密度函数（PDF）的粗略估计，这是底层随机过程一个非常重要的特征。

我们可以采用另外一个略微有所不同的方法得到相同的结果：根据我们的测量，噪声幅度在-4.43和4.34之间。 实际上，噪声幅度可以取一个超出此范围的值。但是，我们使用的是测量数据来估算幅度分布。对于我们正在开发的粗略模型，绝对可以确定的是，幅度值在-4.43和4.34之间这个事件的概率为1。

通过计算归一化曲线下的总面积（即估计的PDF）可以找到该概率。为了使归一化的曲线的总面积为1，我们应将bin高度除以一个将总直方图面积等于1的归一化因子。直方图的面积等于面元宽度乘以样本总数。 因此，归一化因子等于bin宽度乘以样本总数。应用该归一化因子可得出如图3所示的估计PDF。

图3

平稳性假设

以上所有讨论都是基于一个基本假设，即假定可以通过对随机过程进行长时间观察，来估计其分布函数。换句话说，随机信号对应的概率分布函数不会随时间变化。实际上，通常情况下的随机信号并不满足这个条件，但是对于我们感兴趣的电子系统中的噪声源，这个假设是有效的。如果随机过程的统计属性不随时间变化，则将其称为平稳过程。

计算均值

有了随机变量的PDF，我们便可以估计其样本均值。让我们考虑一个简单的例子。比方说，所假设的随机信号X具有三个可能的值：1，-2和3，概率分别为0.3、0.6和0.1。我们如何找到该信号的均值呢？一种方法是通过从信号中获取大量样本来估计平均值。在已知概率的情况下，我们可以通过计算数据观测值的算术平均值来计算样本均值：

其中，N表示样本总数，xi表示第i个样本。 请注意，我们得到的仍然是随机变量平均值的估计值，因为信号是随机的，我们无法预测将来的值。估计平均值的更好方法基于使用不同结果的概率。

根据这个示例给出的概率值，我们可以得出一个结论，即如果长时间观察此随机信号，则在我们持续观察时间的30%时长内，它的值为1，60%和10%的时长内其取值为-2和3。 因此，我们可以将不同结果的概率用作该结果的权重。根据这个分析，我们可以得出：

其中，E（X）表示对随机变量X的期望。可以将对随机变量的期望视为对随机变量样本平均值的估计。离散随机变量X的期望为：

其中，X表示随机变量，x表示X可以取的值。p（x）表示X取值x的概率。对于连续随机变量，我们可以建立以下方程：

如你所见，PDF允许我们预测噪声波形的平均值。随机变量的期望值有时用μ表示。我们可以将确切值插入图3中，以找到本示例的期望值。不过，对这个图我们还可以进行目视检查，可以发现其取值在零附近对称，随意可以预测该随机变量的平均值为零。

随机变量的方差

同样，我们可以使用随机变量的PDF来估计其方差。如果我们从随机变量中获得了N个样本，则可以使用以下方程式找到样本方差：

请注意，这里的分母被选择为N-1而不是N。至于为什么使用N-1而不是N，大家可以参阅Anthony Hayter的《面向工程师和科学家的概率和数理统计》第7.2.1节。

使用给定结果的概率作为该结果与平均值之间差值的权重，可以得出：

对于连续随机变量，我们具有以下方程式：

因此，PDF允许我们预测噪声波形的平均值和方差。

方差和平均功率

当μ= 0时，连续随机变量的方差简化为：

这是对噪声样本平方值的期望。在概念上，这个值类似于确定信号s（t）的平均功率。

这里的平均功率用V²而不是W表示。这个想法是，如果我们知道Pavg，我们可以通过将Pavg除以RL来轻松计算传递到给定负载RL的实际功率。对于某个随机变量而言，我们不知道其瞬时采样值，但是，我们可以使用期望的概念来预测x2的平均值。因此，当μ= 0时，噪声波形的方差就是噪声平均功率的估计值。

如你所见，PDF使我们能够提取一些宝贵的信息，例如噪声分量的平均值和平均功率。

尽管我们现在已经能够估计噪声的平均功率，但是仍然存在一个主要问题：噪声功率在频域中如何分配？ 本系列的下一篇文章将探讨这个问题。

结论

噪声是一种有害的干扰，会降低信号的准确性。要分析噪声对系统的影响，我们需要对其行为特性有基本的了解。噪声的瞬时幅度值无法预测，但是，我们仍然可以针对我们感兴趣的噪声源开发其概率意义上的统计模型。例如，我们可以估计噪声的平均值和平均功率，使用这些信息和噪声功率谱密度（PSD）通常足以分析噪声对电路性能的影响。