Matlab 可以说是一个非常有用且功能齐全的工具，在通信、自控、金融等方面有广泛的应用。

本文讨论使用 Matlab 对信号进行频域分析的方法。

说到频域，不可避免的会提到傅里叶变换，傅里叶变换提供了一个将信号从时域转变到频域的方法。之所以要有信号的频域分析，是因为很多信号在时域不明显的特征可以在频域下得到很好的展现，可以更加容易的进行分析和处理。

FFT
Matlab 提供的傅里叶变换的函数是 FFT，中文名叫做快速傅里叶变换。快速傅里叶变换的提出是伟大的，使得处理器处理数字信号的能力大大提升，也使我们生活向数字化迈了一大步。

接下来就谈谈如何使用这个函数。

fft 使用很简单，但是一般信号都有 x 和 y 两个向量，而 fft 只会处理 y 向量，所以想让频域分析变得有意义，那么就需要用户自己处理 x 向量

一个简单的例子

从一个简单正弦信号开始吧，正弦信号定义为：

我们现在通过以下代码在 Matlab 中画出这个正弦曲线

fo = 4; %frequency of the sine wave
Fs = 100; %sampling rate
Ts = 1/Fs; %sampling time interval
t = 0:Ts:1-Ts; %sampling period
n = length(t); %number of samples
y = 2*sin(2*pi*fo*t); %the sine curve
   
%plot the cosine curve in the time domain
sinePlot = figure;
plot(t,y)
xlabel('time (seconds)')
ylabel('y(t)')
title('Sample Sine Wave')
grid

这就是我们得到的：

当我们对这条曲线 fft 时，我们希望在频域得到以下频谱（基于傅里叶变换理论，我们希望看见一个幅值为 1 的峰值在 -4Hz 处，另一个在+4Hz 处）

使用 FFT 命令
我们知道目标是什么了，那么现在使用 Matlab 的内建的 FFT 函数来重新生成频谱

%plot the frequency spectrum using the MATLAB fft command
matlabFFT = figure; %create a new figure
YfreqDomain = fft(y); %take the fft of our sin wave, y(t)

stem(abs(YfreqDomain)); %use abs command to get the magnitude
%similary, we would use angle command to get the phase plot!
%we'll discuss phase in another post though!

xlabel('Sample Number')
ylabel('Amplitude')
title('Using the Matlab fft command')
grid
axis([0,100,0,120])

效果如下：

但是注意一下，这并不是我们真正想要的，有一些信息是缺失的

x 轴本来应该给我们提供频率信息，但是你能读出频率吗？

幅度都是 100

没有让频谱中心为

为 FFT 定义一个函数来获取双边频谱

以下代码可以简化获取双边频谱的过程，复制并保存到你的 .m 文件中

function [X,freq]=centeredFFT(x,Fs)
%this is a custom function that helps in plotting the two-sided spectrum
%x is the signal that is to be transformed
%Fs is the sampling rate

N=length(x);

%this part of the code generates that frequency axis
if mod(N,2)==0
k=-N/2:N/2-1; % N even
else
k=-(N-1)/2:(N-1)/2; % N odd
end
T=N/Fs;
freq=k/T; %the frequency axis

%takes the fft of the signal, and adjusts the amplitude accordingly
X=fft(x)/N; % normalize the data
X=fftshift(X); %shifts the fft data so that it is centered

这个函数输出正确的频域范围和变换后的信号，它需要输入需要变换的信号和采样率。

接下来使用前文的正弦信号做一个简单的示例，注意你的示例 .m 文件要和 centeredFFT.m 文件在一个目录下

[YfreqDomain,frequencyRange] = centeredFFT(y,Fs);
centeredFFT = figure;

%remember to take the abs of YfreqDomain to get the magnitude!
stem(frequencyRange,abs(YfreqDomain));
xlabel('Freq (Hz)')
ylabel('Amplitude')
title('Using the centeredFFT function')
grid
axis([-6,6,0,1.5])

效果如下：

这张图就满足了我们的需求,我们得到了在+4 和 -4 处的峰值，而且幅值为 1.

为 FFT 定义一个函数来获取右边频谱
从上图可以看出，FFT 变换得到的频谱是左右对称的，因此，我们只需要其中一边就能获得信号的所有信息，我们一般保留正频率一侧。

以下的函数对上面的自定义函数做了一些修改，让它可以帮助我们只画出信号的正频率一侧

function [X,freq]=positiveFFT(x,Fs)
N=length(x); %get the number of points
k=0:N-1; %create a vector from 0 to N-1
T=N/Fs; %get the frequency interval
freq=k/T; %create the frequency range
X=fft(x)/N; % normalize the data

%only want the first half of the FFT, since it is redundant
cutOff = ceil(N/2);

%take only the first half of the spectrum
X = X(1:cutOff);
freq = freq(1:cutOff);

和前面一样，使用正弦信号做一个示例，下面是示例代码

[YfreqDomain,frequencyRange] = positiveFFT(y,Fs);
positiveFFT = figure;
stem(frequencyRange,abs(YfreqDomain));
set(positiveFFT,'Position',[500,500,500,300])
xlabel('Freq (Hz)')
ylabel('Amplitude')
title('Using the positiveFFT function')
grid
axis([0,20,0,1.5])

效果如下：