1、符号能量问题
请问各位大虾，像 4QAM，16QAM，32QAM，64QAM 调制每符号平均能量怎么求解？我看别人程序时，16QAM 得每符号平均能为 10，不知道怎么求出来的。我想知道对于这些调制方式,怎么加噪的,我看一段程序如下:

Eav=10*d^2; % energy per symbol

snr=10^(SNRindB(p)/10); % SNR per bit (given)

sgma=sqrt(Eav/(8*snr)); % noise variance

它是 16QAM 调制算噪声均方差的，不知道这几句什么意思，哪位大侠帮忙解释解释。

A1：一般认为各符号等概出现。其实没有什么意义，关键是与噪声功率谱密度的比值。

A2：欲求符号的平均能量，只要把各个符号的能量都加起来，再除以符号的个数即可(假设每个符号的使用概率相同)。以 16QAM 为例。其星座图中每个象限各有四点，所以只算任何一个象限 (如第一象限) 中的四点即可。假设点和点之间的最小距离为 d, 那么，这四点的坐标为 (d/2, d/2), (d/2, 3d/2), (3d/2, d/2) 和 (3d/2, 3d/2)。于是，第二、三点的能量各是 (d/2)^2+(3d/2)^2，其他两点的你一定会照此类推。把四点的能量都加起来，等于 10*d^2。再除以 4，就得到平均值 2.5*d^2。为了方便，常常设 d=2。这时，平均值就等于 10。

2、IFFT 复信号处理
我想请问一下大家，我在仿真中 QAM 映射后的信号（64 个复数）经 IFFT 后生成了 64 个复数。按照书上说的在这时，信号已经调制到了 64 个子载波上。我想问一下这 64 个复数是怎么调制到 64 个子载波上的呢？我理解的是这样的，不知道对不对，就是生成的 64 个复数，在 D/A 转换时，每隔 0.05us 分别与一个矩形脉冲相乘并调制到一个子载波上，这样调制 64 个复数刚好要 3.2us 与一个 OFDM 的符号时间相同。最后生成的 OFDM 符号再调制到主载波上。是这样的吗？

A1：就是这样的（这句话不对）

ifft 出来的 64 个复数就是一个 OFDM 符号的 64 个采样点。

A2：不对。你经过 QAM MAP 之后的 64 个复数是 64 个不同频率子载波的幅度因子,分别相乘之后在时域叠加起来就是最后的 OFDM 输出信号(不考虑加 CP 等等)

AAA3：3 楼的说的对，IFFT 前的 64 个复数分别对应 64 个不同频率的子载波，经过 IFFT 变换后变为这 64 个子载波迭加的时域信号，因为传输的只能是时域信号。D/A 速率决定子载波间隔大小，并不是把它调制到 64 个子载波上。

3、复信号的理解
上课学了复信号，就一直有个迷惑!一般的硬件电路都不支持复数运算，一般的方法是把实部，虚部分别方在不同的存储区域，运算的时候分别按照实虚部运算！对此，我这样理解，复数只是再学习过程中的一个概念，我们可以在做理论（比如在纸上推导公式）的时候使用，到了实际的应用（在硬件电路里编程实现我们前面推导的理论）必须把一个复数换成两个实属（），分别按照实数的运算法则运算，只是要时刻记住那个结果是实部，那个是虚部？不知道这样理解对吗？还有个问题，那就是 qam，正交调制我们用复数理解比较好，正交调制在实数域里面到底是怎么实现的？？？产生 qam 信号时，I,Q 信号是正交的，还是两个独立的普通信号！

AAA1：我觉得楼主开始对复信号的理解还是很到位的。至于 QAM，它的 I 和 Q 信号是只正交的，因为我们把 EXP 信号分解成 SIN 和 COS 信号, 而 SIN, COS 是正交的。 

如果你想理解 QAM 信号，用星座图来理解比较容易。星座图当中横坐标跟纵坐标是正交的，这个正交可以理解成 90 的角度偏移，——这就是角度调制。然后，QAM 有不同的幅度，比如 16QAM 是从 -3 到+3，——这个就是幅度调制。这就是为什么把 QAM 理解成角度加幅度调制的原因。

4、怎样把复信号从载波上移到低频
比如我把一个复信号 a+b*j 与载波相乘，产生复信号 s(t)=(a+j*b)*cos(2*pi*fc*t) fc=900M,那么怎么解调呢，如果用低通滤波器，在频域求的话，只能取它的实部啊？有什么办法呢，哪位大侠知道啊

A1：复信号有正交表示方法，有两个分量，称为同相分量和正交分量，在通信中有较为详细的阐述。在雷达信号中，基带复信号又称为（相干）视频信号，有相应的获取方法，在原理上和通信是相通的。解调的方法有很多，比如正交混频低通滤波法，希尔伯特变换频移法和奇偶分离符号变换法（其中包括希尔伯特变换法，各种插值法，多相滤波法）。相关资料可以查询书籍和文献。

A2：欲把基带复信号调制到高频，需把复信号的实部和虚部分别与高频的 cos 和 sin 波形相乘，再把两个乘积加起来，成为一个高频的实信号。只乘一个 cos 是不行的。在接收端，需要把高频信号与高频的 cos 和 sin 波形相乘，得到两路信号，各自滤波后即得到基带复信号的实部和虚部。

A3：有一篇文献《Complex signal processing is not complex》比较经典，在站上可以搜索到下载看看，相信会对你有所帮助。里面有个概念叫做复信号流图比较直观形象，对应的实信号流图，对比可以知道两者的区别。

调制和解调在复信号层面理解仅仅就是乘以一个复谐波（载波或者中频）成分，在实信号层面理解就是交叉耦合相乘，详见该篇论文。

A4：实际世界中没有复信号，所以你说的把一个复信号去用一个单一的余弦去调制是不可能的。只有一个完整的指数 e(j*sita)才能用来表示复数，也就是两个正交分量，相差为 pi/2 的余弦波（或正弦波）。而我们分析时用复信号去表示能简化不少。

A5：从物理意义来看，复信号就是幅度和相位都同时表达的信号。解调时首先需要经过一个非线性变换或者时变网路（电路）变换，然后才用一个分离信号的滤波器捡出。这个滤波器理想特性是对整个信号频谱而言 1，有零衰耗。2，有常数群时延。对信号以外的频带有无穷大的衰耗。

A6：modulated signal: x(t)=Re{s(t)*e^(jwt)}=s_r(t)cos(wt)-s_i(t)sin(wt); 
 demodulated signal:   s_r(t)=x(t)*cos(wt)->LPF; s_i(t)=x(t)*sin(wt)->LPF.

A7：1、变到低频乘一个正弦波，在滤掉频率上移的那部分就行了。不过要当算仔细，当心正弦波负频率部分产生混叠。

2、变到零中频的话乘一个复指数信号实际上是不成的，一般采用正交解调，分别乘两个正交的正弦，得到基带信号的实部和虚部。以上内容通信原理上有，你可以找原来上课的老师把学费要回来。

5、OFDM 最后复信号怎么发送
本人在做 OFDM 系统的仿真，遇到一个问题。在 IFFT 之后的得到的复数数据经过上变频后还是复数，如何发送这些复数呢？还有就是信道的模拟是怎样的，是对复数进行操作还是其他？是不是在发端发实部，收端通过下变频再低通可以恢复实部，虚部？我觉得如果是这样，可能考虑的太简单了。如果信道畸变太严重，数据可能恢复不了。请大家解惑，谢谢！

AAA1：按照 OFDM 一些文档的介绍，如果在 IFFT 之前，序列被共轭对称之后，IFFT 之后的序列就是实序列了，那么只发送实部序列就可以了。（这样很简单）另外一种方法是 IFFT 之前，序列没有经过共轭对称处理，直接进行 IFFT 变换，这样出来的就是复序列，要在 I ,Q 两路载波上进行发送。BTW ，论坛上以前有好多文档，可以参考！

指 0。。。N-1。然后，把要传送的数字信号（-1，+1）映射到 N 个载波（即式子中的 exp 项，也即 IFFT）上并叠加到一起，然后发送。我举个例子吧：比如有 100M 的带宽，然后 IFFT 的大小是 1024，这样的话就是把 100M 的带宽分成了 1024 小份，这个目的是为了让带宽减小，从而减小 ISI。然后第一个载波的频率就是 100M/1024，第 2 个载波的频率就是 2*100M/1024，以此类推。这部分的作用是让 N 个载波彼此正交，以消除载波间的干扰。

6、OFDM 补零方法
小弟初学 OFDM，发现在做 IFFT 时有两种补零的方式。一种是在头尾补，目的好像是说去除不希望产生的低频分量。另一种方式是在中间补，好像是所谓的过采样吧。

我觉得以上的两个问题挺晕的，实际应用中到底是用的哪种方式呢？还有要补的时候补多少个呢？请高人指点！

AAA1：建议先看看有关数字信号处理的书。

你说的两种补零方法都是有的。在做 FFT、IFFT 的时候，最高频点在中间，既是 1/2 的采样频率处，后半部分是负频率关于采样频率的镜像。所以说头尾补是除去低频分量，中间补即是所谓的过采样。要补多少个点要不同情况不同分析了。

7、SNR 实现
设信号为 S（t），噪声为 n（t），用 matlab 如何实现经与 IFFT 后的 SNR 为 10db 呢？？

AAA1：你问的问题范围有点大。对于后一问题，我觉得应该可以这样算：设经过 IFFT 之后的是 N 点序列 X(n)，对其进行各项平方求和在求平均，得出信号功率 Si，然后依据 SNR 求得噪声功率 Ni。由此生成均值为 0，方差为 Ni 的正太随机数：n（t）＝sqrt（Ni）×randn（1，N），可以作为噪声。依据信道不同可以模拟不同分布的随机数，只要功率 Ni 已知。根据帕斯瓦尔定理，信号在在频率域和时间域的能量相同，所以

IFFT 和 FFT 后，信号的功率不变。

8、关于 QAM
1）一串二进制序列经 S/P 转换后，分 I 和 Q 支路，继而经过 upsample 和 root raised cosine 滤波器实现 D/A 转换。请问高手 upsample 的意义是什么，是否是用来进行 pulse shaping？ 

2）解调器端经 LPF 输出的信号，是否将该输出信号经过同样的 root raised cosine 滤波器后采样获得？应该如何采样才能获得原输入序列？

AAA1：1)对的 

2）也对，过了滤波器就会得到原来的序列，不过有滤波器延迟。

AAA2：QAM 至少是 4 进制的，即每个符号 (symbol) 有 4 个选择。M 进制的 QAM 常写为 M-QAM。16、64、及 256 进制的 QAM 都是常见的。对于 M 进制的 QAM， 进入 I 和 Q 的都是 sqrt(M)- 进制的实数序列，一个数对应于一个符号。也就是说，每个符号用一个(采样)点表示。而仅用一个采样点是没法进行 pulse shaping 的。所以在送到 root raised cosine 滤波器之前必须增加样点，即提高采样率，用更多的点来表示每个符号。upsampling 就是提高采样率的意思。upsampling 一般有两种做法，一是在每两个符号之间插入 (N-1) 个零，二是把每个符号重复 (N-1) 次。具体用哪种要看 root raised cosine 滤波器的实现方法。在接收端，除去载波后的信号经过同样的 root raised cosine 滤波器后采样。这个采样的结果是降低采样率 (downsapling)，回到用一个点来表示一个符号。采样的时刻是否正确非常重要。必须仔细地计算正确的采样的时刻，或者有合适的时间同步电路。采样后的 I 和 Q 序列再经过判决器作量化即可得到原输入序列 (如果无差错的话)。这里假设的是理想的情况。实际上接收机与发射机的载波频率可能有偏差。所以接收机中还要有频率同步电路。收到的信号可能有码间干扰等失真，所以接收机中可能还要有均衡器。等等。

AAA3：在每两个符号之间插入 (N-1) 个零是比较实用的 upsampling 的做法。这样一来每个符号就有 N 个样点。将这样处理后的数字序列通过用 FIR 实现的开方升余弦 (root raised cosine) 滤波器就行了。用 FIR 实现开方升余弦滤波器，就是要算出该滤波器的冲激响应，将冲激响应在采样点上的数值用作 FIR 滤波器的系数。这个冲激响应用解析解，但是一般书上很少见到。不过 MATLAB 中已有现成的函数可以用，直接用即可。

AAA4：matlab 中 rcsofir 中 The transition band is (1-R)/(2*T) < |f| <(1+R)/(2*T). 是为什么？

AAA5：根据采样定理，若要对一个模拟信号采样而又不失真，采样频率不得低于信号带宽的两倍。实际中的采样率往往高于信号带宽的两倍。oversampling 即指用高于信号带宽两倍的采样率进行采样。当滚降系数 R=0 时，升余弦滤波器的带宽为 |f| < 1/(2*T)，传递函数在整个带宽内是常数。而当滚降系数 R>0 时，升余弦滤波器的带宽加宽为 |f| <(1+R)/(2*T)。在这段范围内，传递函数在 |f| <(1-R)/(2*T) 内是常数，而在 (1-R)/(2*T) < |f| <(1+R)/(2*T) 内是逐渐减小到零的，所以这一段范围被称为过渡带。

9、OFDM 中基带信号经过 IFFT 后,还是基带信号吗?
请问各位,OFDM 中基带信号经过 IFFT 后,还是基带信号吗?我的理解是,在 IFFT 时,进行了子载波调制,所以 IFFT 后,应该是变成中频信号了啊,可我看到 Timothy M. Schmidl 的文章 Robust Frequency and Timing Synchronization for OFDM 的发射和接收模型中,在 IFFT 后还有中频本振(IF LO)啊 . 难道 OFDM 中基带信号经过 IFFT 后,还是基带信号吗?,请各位解释下哈,谢谢

AAA1：嗯 ... 經過 IFFT 後還是基帶訊號,接下來會有 LO 把它載到高頻去 ...

AAA2：只有 IFFT 后的信号才是 OFDM 信号，并且是基带信号，IFFT 之前的信号还不能称之为 OFDM 信号。IFFT 可以理解为完成的是 OFDM 基带调制，即使普通的信号在基带也要占一定的基带带宽，OFDM 基带调制就是完成在这一基带带宽上的信号处理，使之有一定的特性。而完成基带调制后，其他的处理可以套用一些成熟的技术，例如：中频和射频处理。

AAA3：IFFT 后是零中频信号，当然需要载波将其搬移到射频。

10、成形滤波器的作用
AAA1:通过成型滤波器实际上是减少码间干扰，减少带外辐射，比如在发送和接收方均采用根升余弦滤波器，这样，系统的带外辐射是非常低的，具体可以参考通信原理上的码间干扰的分析及相应的处理。

11、QPSK 应该是实信号还是复信号？
如果是实信号（事实上书上在讲理论的时候，QPSK 调制信号都是实信号），那么在 OFDM 中，按最原始的理论来讲，OFDM 调制后应该还是实信号才对。因为 OFDM 不过是多个 QPSK 调制信号的和（假设每个子载波都采用 QPSK 调制）。但是在 Matlab 仿真中，几乎所有方法都是在 QPSK 调制过程中将已经调信号为复数信号（这是还是基带信号），然后再将这些复数进行 IFFT。这样 ，如果只取 IFFT 之后的实信号，这个信号应该是满足前面的结论的。可是为何这样处理呢？这样理解对吗？谢谢。

AAA1: 根据欧拉公式，f1(t)*cos(Wc*t)-f2(t)*sin(Wc*t)=Re((f1(t)+j*f2(t))*exp(j*Wc*t))这样就为基带调制中用复数表示实数信号提供了依据。正交调制都可以表示成 f1(t)*cos(Wc*t)-f2(t)*sin(Wc*t)的形式（Wc 为载频），因此只需要得到 f1(t)+j*f2(t)，就可以获得调制信号。有些书上指的 I/Q 两路信号就是指的 fi(t)和 f2(t)，也就是其实部和虚部。个人理解，供参考。

AAA2: QPSK 调制信号由 I Q 两路组成，调制到正交载波上。楼主问的是另外一个问题（为什么 OFDM 传输的时候用实信号）。你可以参看 OFDM 中的信号处理，通常在 IFFT 之前把要传的信号共轭折叠扩展，然后做 IFFT 这样得到的变换是实部（因为实有限序列的傅立叶变换是共轭对称的复序列），这样传输的时候把实序列调制到载波上传输就可以了。OFDM 中的调制 ，包括传输符号的调制（QPSK 或 QAM ），以及 FM。

5、 为什么 OFDM 系统 IFFT 之后只取实部
看了几天的 OFDM。举个例子吧，32 点的复数 IFFT 输出也是 32 个复数；为了 IFFT 结果中只存在实部分量，必须要构造负频率部分（和原输入共轭对称），所以就变成 64 点的 IFFT 了，结果输出是 64 个实数。两种方法的最终结果都是发送 64 个数，只是后一种方式 IFFT 的点数变多了，不知道为什么要这样做？希望大家指点指点，谢谢！！！

AAA1: 2 倍过采样后可以从发送的实部恢复出虚部来。具体的可以参考文献"Data Transmission by Frequency-Division Multiplexing Using DFT",S.B.Weinstein,ect

AAA2: 有线的 OFDM 系统中可能有这种做法(实际上，在 IFFT 之前来了个共轭对称。IFFT 之后理论上是实信号，相当于传输速率减半)。这是因为如果只有一根线，不利用相位信息的时候，只能同时传一路实数信号(实部或者虚部)。当然你也可 TDM 的方式发送实部和虚部，这样传输速率也会减半。复数信号有意义的，要利用相位信息的时候就必须用。两路实数信号，如果利用它们之间的(相位)关系，这两路实数信号就应该合起来看作是复数信号，而不应该看成两个独立的实数信号。

AAA3: OFDM 信号可以是实的，也可以是复的。以楼主举的例子，取 32 个复数，再拼接上它们的共轭对称，这样做 IFFT 以后就得到实的 OFDM 信号。如果要产生复数的 OFDM, 则直接取 64 个复数做 IFFT。如果用基带传输 (即不用载波调制)，那末只能传输实信号，不可能传复信号。反之，如果作载波调制，那末因为可以同时使用正弦和余弦载波，因此理论上可以传复信号。如果只用其中之一，频带的利用率当然没有达到最大，不过可以降低对接收机中载波同步的要求，不必担心两路信号之间的干扰。

AAA4: 做 IFFT 时，实际上第一个数 (一定是实数) 定义 DC 成份，第 (N/2+1) 个复数定义最高频率成分，最后面的 (N/2-1) 个复数定义负频率成分。所以，IFFT 后的信号的频带是 (-fm, fm)。然后，如果用基带传输，只能传实部，信号的带宽是 fm；如果用通带 (即用 RF 载波) 传，还可以多传一个复部，但是信号的带宽是 2*fm，所以频带的效率是一样的。那篇文章只讨论基带传输，所以只能传输实部。如果你想再传一个复部，那么你必须用通带来传送，结果信号带宽就会增加一倍

AAA5:现在系统描述如下，假如我系统原本就用 N 点的 IFFT，N 点皆为信号点，那根据上面那篇论文，我只需要传送 N 点 IFFT 后的实数部分即可借由在接收端过采样一倍之后，加上 2N 点 FFT 即可回复出原来的 N 点信号（当然，这需要从 2N 中选出 N 点）。上述经过我初步的模拟是成立的。现在的问题是：原来的 OFDM 应该是同时会有两个载波 Sin and Cos，一个用来载基频的实数部分，一个用来载基频的复数部分。因为上述的过程成立，所以我现在只需要利用一个载波传送实数信号即可。所以 Sin 等于没有使用～那假如将下一个时间点的实数信号放到这个时间点的这个 Sin 载波，那这样不就等于把 Data Rate 提高了一倍吗？

AAA6: 从信息论 (information theory) 的观点来看，无论用基带还是通带传输，所能达到的频率效率都是一样的。用通带传输时，带宽比基带传输多一倍。如果只用 cosine 传输实部信号，那么频带效率就只有基带传输的一半，意味着浪费。如果即用 cosine，又用 sine，则频带效率比只用 cosine 提高一倍，但也只是达到与基带传输相同的频带效率。这不仅适用于 OFDM，也适合于其它系统。

AAA7: 嗯 ... 我了解您所想表達的～

但是你後面那句話，如果～

基带传输只传输了实部信号，带通传输传送了实部信号和虚部信号，频宽效率一样。但是上面有一件事情，就是都是传送来自于同一个 IFFT 后的信号。假如今天在带通只是为了频宽效益而多传了虛部信号，那虚部信号何不以下一个时间的实部信号取代呢？虽然说频宽效率降为一半，但是传送速率却多出一倍不是吗？

AAA8: passband 传输一般是双边带的，所以比 baseband（单边带）传输带宽大一倍，传输效率当然也低一半。如果采用单边带（SSB）的 passband 传输，则传输效率和基带一致。双边带传输时，中心频率两边的两个边带所传输的信息是完全一致的（互为镜象分量），接收机在下变频处理时，将这两个边带中的任何一个边带转换到基带处理都是可以获得全部信息的。但是，所谓用 cos 传一半数据、sin 传另一半数据是不对的。因此也不存在，用另一个边带传一半数据的说法。只可能是用单边带传输技术，原来两个边带的带宽中的两个单边带分别传不同的数据，但这两个边带也变得没有什么关系了，而是两个独立的边带。

AAA9: 如果你复习一下付氏变换的性质，你就知道，只有实数函数的变换才是共轭对成的，而复数函数的变换并不是对称的。所以，只有当基带信号是实信号的时候，你所说的 “双边带传输时，中心频率两边的两个边带所传输的信息是完全一致的（互为镜象分量），接收机在下变频处理时，将这两个边带中的任何一个边带转换到基带处理都是可以获得全部信息的。” 这句话才成立。如果基带信号是复数信号，那么它的两个边带是不对称的，仅用一个边带是不能恢复出原来的信息的。比如说，如果你有一个纯实数的幅度调制(ASK) 的基带信号，它的两个边带所传输的信息是完全一致的（互为镜象分量），接收机在下变频处理时，将这两个边带中的任何一个边带转换到基带处理都是可以获得全部信息的。你可以用单边带传送这样的信号。可是，对于 QAM 信号就不是这样，因为 QAM 是复数信号，它的两个边带是不对称的，仅用一个边带是不能恢复出原来的信息的。所以，你不可能用单边带传送 QAM。最后，你所说的 “所谓用 cos 传一半数据、sin 传另一半数据是不对的。”这句话显然也是不对的。QAM 信号就是用 cos 传一半数据、sin 传另一半数据的。

AAA10: 1) 我想这里本来就是讨论实数基带信号的情况。

2) QAM 也没有什么特殊之处，4QAM 就是 QPSK。

3) 关于一半数据的说法是我没有想清楚就写出来了，主要是针对前面讨论，想说明并非一个边带传一半数据。cos 就是传所谓的 I 路，sin 传所谓的 Q 路信号而已。似乎也有点昏了。问题都有点搞不清楚了。一个基带表示的 QPSK 信号，算是实数基带信号还是复数基带信号？我们对频带传输的 QPSK、16QAM 信号就是下变频之后只用了一个边带信号解调的啊？！

AAA11: 看来大家对这个题目很有兴趣。为便于讨论，我先把问题梳理一下。

(1) 为了产生纯实数的 OFDM 信号，通常的做法是从信息数据中取 N 个复数用以定义正频率部分 (0~fm)，再拼接它们的共轭对称以定义负频率部分 (-fm~0)。然后做 IFFT，得到 2N 点的实数信号，其频率范围是 (-fm, fm)。这样产生的信号，传递 N 个复数信息数据。如果用基带传输，带宽为 fm。如果用通带传输，带宽为 2fm。

(2) 为产生复数的 OFDM 信号，则直接从信息数据中取 2N 个复数，直接做 IFFT 后得到复数的信号，再用 cosine 和 sine 载波分别传送实部和虚部。与产生实数信号的过程相比，由于不需要产生共轭对称的频谱，负频率部分也被用来传送信息数据。这时 RF 信号的带宽为 2fm，传送 2N 个复数信息数据。所以通带传输与基带传输的频带效率是一样的。

(3) lovewa 的问题源于一篇 IEEE 的文章里的方法。该方法与上面的做法不同，所以令人迷惑。它的做法是从信息数据中取 N 个复数，做 IFFT 后取出实部；在接受端，加倍采样，得到 2N 个实数，从中恢复出原来的 N 个信息数据。由于只传输实部，不传送虚部， lovewa 的问题就是：能否利用通带传输中传输虚部的能力 (即用 sine 载波) 再传输一路信息，以提高信道频带的利用率。

我比较关心的问题是：用 (3) 的方法，是否能获得比方法 (2) 高的频带效率 ?

我的看法是，在方法 (3) 中，如果用通带传输，你可以用 sine 载波再传一路另外的实部信号，但是并不能获得比方法 (2) 高的频带效率。欢迎大家各抒己见。

AAA12: 确实，4QAM 就是 QPSK。但是，不管你叫它 4QAM 还是 QPSK， 它的基带都是复数信号。通常所说的 I 路就是它的实部，Q 路就是它的虚部。它的每个符号的频谱都是不对称的。你不可能只用一个边带来传送和恢复它。

AAA13: 我認為如果用另外一路傳送另外一筆實數訊號可行～

那頻譜效率就會跟(2)一致，2N 資料，2fm 頻寬

(3)有沒有可能比(2)頻譜效率使用高

我認為有，就再多一路正交載波即可

如此頻譜效率會提升成 1.5 倍的(2)

AAA14: 普遍用的方法是未昏的总结中提到的（2）

至于(3) lovewa 的问题源于一篇 IEEE 的文章里的方法。该方法与上面的做法不同，所以令人迷惑。它的做法是从信息数据中取 N 个复数，做 IFFT 后取出实部；在接受端，加倍采样，得到 2N 个实数，从中恢复出原来的 N 个信息数据。由于只传输实部，不传送虚部， lovewa 的问题就是：能否利用通带传输中传输虚部的能力 (即用 sine 载波) 再传输一路信息，以提高信道频带的利用率。

我还没看那篇文章。通过你们的讨论，我理解是 ifft 之后取出的实部做 2 倍过采样，然后上变频发射，对吗？

这里面有两个问题：（1）假设 ifft 后有 N 个复数点，常规方法发射端 IQ 两路共

2N 个点。采用你所说 IEEE 的文章里的方法。2 倍过采样后发射端就是 2N 个点。

如果如你所说再传一路就在加上 2N 个点。每次传输信息多了一倍，同样发射点数也多了一倍，对传输率没有提高。

（2）取出实部的方法，得考虑一下在射频中能否实现，是否可以上变频。

文章中的方法是否正确我还需要验证一下，不过你的想法还是很有意义的，我们在做实际项目的时候，射频之前是要做过采样的，如果可以把文章中的过采样和实际系统中的过采样合起来，理论上在实际系统中是可以提高传输速率

AAA15: 你提出的这个问题我仔细推了一遍

首先想确定一下利用通带传输中传输虚部的能力再传输一路信息不是最优方法

因为你那样做导致星座图不再均匀，抗干扰能力下降，而你那样提高传输率的方法和将 QAM 增加一倍是等效的，但抗干扰的性能远不如将 QAM 增加一倍

AAA16: 我还没看那篇文章。通过你们的讨论，我理解是 ifft 之后取出的实部做 2 倍过采样，然后上变频发射，对吗？

Ans:非也，過採樣是在接收端接收到訊號的時候做的

也就是說發射端實際上只有傳 N 點的實部資料出去

这里面有两个问题：

（1）假设 ifft 后有 N 个复数点，常规方法发射端 IQ 两路共 2N 个点。采用你所说 IEEE 的文章里的方法。2 倍过采样后发射端就是 2N 个点。

如果如你所说再传一路就在加上 2N 个点。每次传输信息多了一倍，同样发射点数也多了一倍，对传输率没有提高。

Ans:這個問題不會成立，說明同上

（2）取出实部的方法，得考虑一下在射频中能否实现，是否可以上变频。

Ans:這個部分我不太懂，所以沒辦法回答

P.S. 再多討論幾次吧，結論似乎快出來了～

AAA17: 接着我上面关于产生 OFDM 信号的三种方法的贴子，我来解释一下我的看法。我的看法是：方法(3) 在本质上与方法 (1) 是一样的。虽然做法上有所不同，但两者在信道上传输的时候，它们的频带效率是一样的。

理由如下。

(1) 一个实数时域信号，无论是用什么方法产生的，它的付氏变换一定是共轭对称的。如果对这一点有疑问，请复习付氏变换的性质。

所以，当你对一个复数时域信号取出它的实部的时候，你已经使被取出的信号的付氏变换变成共轭对称的了。

(2) exp(j*2*pi*fn*t) 是一个复数时域信号。它的付氏变换是位于 fn 的一条谱线。

(3) exp(j*2*pi*fn*t) = cos(2*pi*fn*t) + j*sin(2*pi*fn*t)。如果对 exp(j*2*pi*fn*t) 取实部，将得到 cos(2*pi*fn*t)。

(4) cos(2*pi*fn*t) 的付氏变换是位于 -fn 和 fn 的共轭对称的两条谱线，而不是一条。

(5) Cn*cos(2*pi*fn*t + Qn) 的付氏变换也是位于 -fn 和 fn 的共轭对称的两条谱线，而不是一条。这里 Cn 和 Qn 都是实数。

(6) IFFT 的计算过程就是把 N 个复数与 N 个 exp(j*2*pi*fn*t) 相乘，再加起来。

(7) 所以，对 IFFT 的结果取实部后得到的是 N 项 Cn*cos(2*pi*fn*t + Qn) 之和。其中的每一项都有两条谱线，一共有 2N 条共轭对称的谱线。

(8) 这样的处理，其效果与方法 (1) 中拼接共轭对称谱线的效果是一样的。这个实数信号被送到信道上。它的频带宽度与方法 (1) 是一样的，而且同样传送 N 个复数。所以两者的频带效率是相同的。

(9) 如果在通带中用 cosine 传送这样的信号，可以同时用 sine 再传另外一路信号，但是与基带传输相比，带宽增加一倍。其频带效率与方法 (2) 是相同的，并不能获得比方法 (2) 高的频带效率。

我无意与任何人争论或争胜负输赢。我的兴趣只是交流。如果哪位觉得不能同意，请坚持你的意见，并争取在实验中验证。我的看法仅供参考。

AAA18: Um... 開始懂您的意思了，大概是資質駑鈍呀

我想再請問一個問題，關於頻譜效率的定義～

要如何在沒有傳送速率的情況下定義這個呢？

因為我從文中只看出使用了多少個點的 IFFT，和使用了多少的頻寬

這樣就可以直接定義出他的頻譜效率了嗎？

另外第九點比較不明暸一點，這樣子的話是不是頻譜效率和（2）一樣

但是如果考慮進傳輸速率，難道用另一路傳送資料不會提高嗎？

我比較困惑這一點～

最後，大家討論嘛，如果有言語上比較不妥當的地方真的是抱歉

我認為這樣的討論很好呀，在研究室裡都很難遇到這樣的朋友～

您的看法從數學上來分析真的很講究，果然學術一定要數理當基礎呀！

AAA19:

看了一下信号分析的书，了解到非对称滤波器的概念，也看到非对称滤波器的脉冲响应是一个调幅调相信号，该非对称滤波器的等效低通滤波器的冲激响应是复的。

但对其物理意义和实际处理方式还是不理解，麻烦再解释一下，或者能否给出什么资料对此讲得比较详细。

比如 QPSK 信号，我们在基带处理时，似乎还是认为其频谱是对称的，只关心其正频域部分；而且正交的两个通道都单独按照实信号来处理，滤波和 ADC。

AAA20: 再看了一下那篇 paper，似乎并没有说 DFT 之后取实部后就只用 Cos 来传输啊？感觉和一般的带通信号用复信号表达是一致的，取实部就是原来的带通信号，它还是由 cos 和 sin 组成的：

s(t)=a(t)cos[wt+theta(t)]

=a(t)cos[theta(t)]coswt-a(t)sin[theta(t)]sinwt

复信号表示 S(t)=a(t)*e^jtheta(t)*e^jwt

s(t)=Re{S(t)}

表达式和 paper 中只相差一个负号而已。

paper 中 DFT 之前是 N 个复信号，DFT 之后取实部，但传送的还是 2N 个实信号，应该是 cos 和 sin 都用了；接收端得到的也是 2N 个实数，并非前面分析的 N 个实数。

文中比较让人困惑的一句话是：因为只传送了 FT 的实部，所以必需 2 倍采样。不知 2 倍采样和只传了 FT 的实部有何关系？

AAA21: 關於頻譜效率的定義～

要如何在沒有傳送速率的情況下定義這個呢？

因為我從文中只看出使用了多少個點的 IFFT，和使用了多少的頻寬

這樣就可以直接定義出他的頻譜效率了嗎？

回答：

我们的讨论目的只是定性地比较，而不是定量地计算频带效率，所以比较几种方法的频带效率时只提到用多宽的频带传送多少个复数符号，并没有谈及每个符号表示多少比特。如果我们知道或规定好每个符号代表多少比特，就等于是在用多宽的频带传送多少比特来讨论频带效率。

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另外第九點比較不明暸一點，這樣子的話是不是頻譜效率和（2）一樣

但是如果考慮進傳輸速率，難道用另一路傳送資料不會提高嗎？

我比較困惑這一點～

回答：

原文只讨论用基带传输，所以不存在再传一路的问题。如果改用通带而又仍然只传一路，那么频带效率是浪费了一半。如果再传一路，可以避免这个浪费，使总的传输速率比只传一路是提高了。不过，用通带可以传两路信号是大家早就知道的事，而且频带效率也不比已有的技术有任何改进。在我看来好像很难算得上新意或成果。

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最後，大家討論嘛，如果有言語上比較不妥當的地方真的是抱歉

回答：

我们的讨论并没有什么问题。只是每个人的时间都有限，不可能无限制地进行下去。而讨论的问题往往也不容易讲明白和听明白。所以到一定程度也只能求同存异，互相尊重和保留各自的意见，不必一定要争出个高低来。无论你同意还是不同意我的看法，你首先提出这个问题，就很值得赞赏。

AAA22:

比如 QPSK 信号，我们在基带处理时，似乎还是认为其频谱是对称的，只关心其正频域部分；

回答：

我们平时讨论的大多是指平均功率谱。这“平均”两个字很重要。QPSK 信号的瞬时谱是非对称的，但平均以后的功率谱是对称的。

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而且正交的两个通道都单独按照实信号来处理，滤波和 ADC。

回答：

一个复数由实部和虚部组成，如 a+j*b。其中 a 和 b 各自都是实数。所以正交的两个通道都各自按照实信号来处理。

负频

在信号处理中采用复信号表示法主要是为了数学处理的方便，因为若采用实信号表示法，当对信号进行处理时，将会产生大量的“交叉项”，这会给系统的分析带来一定的复杂性，而这个问题通过采用复信号表示法可以得到减轻，而且由于复信号的实部和虚部正好与接收机中的同相支路（I）和正交支路（Q）相对应，所以在系统中采用复信号表示法就是很自然的事。实信号的频谱是双边对称的，也就是说存在着负的频率，但是实际上负频率也是不存在的，而解析的复信号的频谱恰恰就是只有正频率的。 
为了得到与某个实信号相对应的复信号，可以通过将实信号的正频率谱加倍，并令负频率谱等于零而得到，而这个过程的实际工程实现是通过希尔伯特变换进行的，这样的复信号是解析的。 
有关这个问题的进一步的详细解释可以参考 Richard L. Mitchell 所著的 Radar Signal Simulation. Artech House,INC. 1976 或者其中译本：陈训达译 . 雷达系统模拟 . 北京：国防工业出版社，1982

从信号与系统的角度，我认为这样理解也不错： 
1,求系统的响应必须要要输入信号与系统进行卷积; 
2,为了简化和便于数值处理，人们就需要寻找一类特殊的基本单元信号，这类特殊的信号有两大特点:（1）,可表达普遍的信号，（2）,此类信号的响应较为简单; 
3,经过寻找，发现指数形式的信号很适合做这类基本单元信号;它的响应是常值与指数的积;并且，此类信号可表示大量的信号; 
4,关键是要把普通的实信号表示成为指数形式，也需要引入虚数的概念（Euler 公式）。 
对这个问题的理解是可多方面的，TomCat 的理解更多是从将信号表示成为复数形式的好处来说明的，而我的角度则是站在即便用实数形式表示信号，也需要引入虚数的概念原因来说明的（当然，有些时候信号本来就是用实数形式表示的，这是其通用形式）。 
刚到这个网站没几天，感觉这个网站不错，可以向大家多多学习乐！

对于一个实信号，频谱是共轭对称的，即负频可以完全有正频确定，是冗余的。对于最高频率为 fm 的基带信号，如果调制到载波上，则正频率部分的带宽为 2fm；而如果对于基带信号构造其解析新后再调制到载波上，则带宽仅为 fm，从这个意义上解析信号可以使带宽减半，可以降低带通信号的采样频率。 
当然，从另外一个角度讲，实信号变为复信号后，实际上变为了两路信号，比如解析信号（实部为原信号，虚部为正交信号）。所以，对于采样来说，由一路采样变为了两路采样，实际采样率并未减少。 
复信号的实现就是通过两个信号通道。负信号相乘，就不止是两个通道各自的运算，而是交叉耦合相乘。复谐波 x=xr+j*xi=cos(wit)+j*sin(wit)=exp(jwit)与复数 a+jb 的乘法如图所示：

那么复信号通过滤波器应该怎么处理?是将实部和虚部分别处理么? 
滤波器系数怎么理解?分别是同相和正交分量的系数么?

一般情况下是两个实系数的数字滤波器，对实部和虚部分别处理。 
不过，现在也有复系数滤波器，可以直接对复信号进行滤波处理。现在做的雷达仿真系统脉冲压缩中的匹配滤波采样的就是复系数滤波器，即卷积滤波的输入和系数以及输入都是复数。有时候从复信号流图的角度去考虑问题和处理问题，也能带来很多方便之处，比如在中频直接采样数字混频正交变换中。 
推广一下，二元有复信号（两通道，用 1,i 表示单位），四元有超复信号（四通道，用 1,i,j,k 表示单位），相应的都有（超）复系数滤波器。感兴趣的可以去查看一些相关的文献。