PBFT的数学证明

在实际的拜占庭容错中，如果N = 3F + 1，N个节点的系统可以容忍F个故障节点。

实际拜占庭容错系统中的每个决策都需要2F + 1批准，其中Fare是故障节点。

我们现在将在数学上证明上述两个定义，它们是彼此的推论。以下计算是斯坦福大学笔记中数学的简化。

分布式系统的两个重要特性是活跃性和安全性。

活跃性

活跃性是系统继续运行时在分布式系统环境中使用的术语。这意味着即使出现一些错误，系统也不会停止运行。在区块链的情况下，活跃意味着系统将继续向链中添加新的区块，并且在任何时候系统都不会停止工作。

安全性

当系统收敛于单个决策时，安全性是分布式系统环境中使用的术语。在分布式系统中，节点可能会分成两个决策或进一步拆分，分布式系统的安全性确保了即使存在故障节点，网络也会在所有可靠节点上以单个决策结束。

证明

非拜占庭式故障

给定网络中的N个节点，具有f个故障节点，保证活跃性和安全性所需的仲裁大小Q是多少？

仲裁定义为网络正常运行和做出有效决策所需的最小节点数。仲裁由诚实的节点组成。

活跃度

为了避免网络停止，必须至少存在一个非故障节点。因此，为了活跃度：

Q 《= N - f

安全度

为了避免网络分裂成多个决策，大多数决策者应该在线。我们需要一个诚实的多数，仲裁大小应该大于节点总数的一半，以便我们做出有利于我们的决定。

因此，为了安全：

Q 》 N/2

2Q - N 》 0

通过梳理我们得到的两个条件，

N 《 2Q 《=2（N-f）

f 《 N/2

N 》 2f

因此，对于非拜占庭式故障

拜占庭式故障

假设网络中有n个节点，其中f个故障节点可能会遇到拜占庭式故障，那么要保证活跃性和安全性，需要多少仲裁大小Q？

遭受拜占庭式失败的节点可以投票给无效的区块或决策，导致决策中的分裂，并因此分叉。

活跃度

为了避免网络停止，必须存在至少一个非故障节点或仲裁。由于拜占庭节点可能无法回复。

因此，为了活跃度：

Q 《= N - f

安全性

为了避免网络分裂成多个决策，大多数决策者应该在线。然而，与非拜占庭式失败不同，拜占庭式失败中的节点也可以投票，因此我们需要在投票过程中考虑故障节点。

Q 》 N/2

2Q - N 》 0

此公式提供了网络中可能存在的最大失败节点数。

因此，为了安全起见，也可以将其写为：

2Q - N 》 f

其中f是可容忍故障节点的最大数量。

把这两个条件结合起来

N + f 《 2Q 《 2（N - f）

N + f 《 2N - 2f

3f 《 N

N 》 3f

if N = 3f + 1

then 2Q 》 4f + 1

or

Q 》 2f + 1/2

因此，对于拜占庭式的失败

Qmin = 3f + 1

在node.js中实现PBFT

在本节中，我们将实现一个以PBFT为共识算法的区块链。值得注意的是，该区块链不会使用加密货币，但如果我们使用账户模型，则可以使用。此外，由于PBFT易受Sybil攻击，因此只能在许可的环境下运行，因此需要了解网络成员。

先决条件

· Node.js

· Postman

· VS code

架构与设计

为了实施PBFT，我们将开发以下组件：

1. 钱包类 - 用于公钥和签名数据。

2. 事务类 - 创建事务并验证它们。

3. 区块类 - 创建区块，验证块并验证区块的提议者。

4. 区块链类 - 创建链，添加区块，计算提议者，验证区块，更新区块。

5. P2p Server类 - 在对等体之间广播和接收数据。

6. 验证者 - 生成并验证验证者

7. 事务池，区块池，提交池，准备池和消息池 - 分别存储事务，区块，提交，准备和新轮消息。

8. App - 用于与区块链交互的Express API

9. 配置 - 存储全局变量

10. Chain Utilities - 用于存储散列和验证签名等常用功能。

创建一个根目录pbft并将其cd入其中。此项目中的所有文件都存在于根目录中。

mkdir pbft && cd pbft

ChainUtil类

我们将从创建一个chain-util.js文件开始，该文件将在此项目中多次使用。此文件将用于创建用于签名数据的密钥对，为事务生成ID，散列数据和验证签名。

我们需要三个模块来执行这些功能。因此我们需要安装它们。

npm i --save elliptic uuid crypto-js

创建一个ChainUtil类并将其导出。

// EDDSA allows us to create keypairs

// It is collection of cryptographic algorithms that are used to create keypairs

const EDDSA = require（“elliptic”）.eddsa;

// ed25519 allows us to create key pair from secret

const eddsa = new EDDSA（“ed25519”）;

// uuid/v1 creates timestamp dependent ids

const uuidV1 = require（“uuid/v1”）;

// used for hashing data to 256 bits string

const SHA256 = require（“crypto-js/sha256”）;

class ChainUtil {

// a static function to return keypair generated using a secret phrase

static genKeyPair（secret） {

return eddsa.keyFromSecret（secret）;

}

// returns ids used in transactions

static id（） {

return uuidV1（）;

}

// hashes any data using SHA256

static hash（data） {

return SHA256（JSON.stringify（data））.toString（）;

}

// verifies the signed hash by decrypting it with public key

// and matching it with the hash

static verifySignature（publicKey， signature， dataHash） {

return eddsa.keyFromPublic（publicKey）.verify（dataHash， signature）;

}

}

module.exports = ChainUtil;

pbft_chain_util.js

事务类

接下来，我们将创建一个事务类。在项目文件夹中创建文件transaction.js。此项目中的事务将包含以下属性：

· id - 用于识别

· from - 发件人的地址

· input - 一个进一步包含要存储的数据和时间戳的对象

· hash - 输入的SHA256

· signature - 发件人签名的哈希

在文件中创建一个类Transaction并将其导出。

// Import the ChainUtil class used for hashing and verification

const ChainUtil = require（“。/chain-util”）;

class Transaction {

// the wallet instance will be passed as a parameter to the constructor

// along with the data to be stored.

constructor（data， wallet） {

this.id = ChainUtil.id（）;

this.from = wallet.publicKey;

this.input = { data： data， timestamp： Date.now（） };

this.hash = ChainUtil.hash（this.input）;

this.signature = wallet.sign（this.hash）;

}

// this method verifies wether the transaction is valid

static verifyTransaction（transaction） {

return ChainUtil.verifySignature（

transaction.from，

transaction.signature，

ChainUtil.hash（transaction.input）

）;

}

}

module.exports = Transaction;

pbft-transaction.js

钱包类

接下来是钱包。钱包持有公钥和密钥对。它还负责签署数据哈希并创建签名事务。

在项目目录中创建文件wallet.js。添加一个类Wallet并将其导出。

// Import the ChainUtil class used for hashing and verification

const ChainUtil = require（“。/chain-util”）;

// Import transaction class used for creating transactions

const Transaction = require（“。/transaction”）;

class Wallet {

// The secret phase is passed an argument when creating a wallet

// The keypair generated for a secret phrase is always the same

constructor（secret） {

this.keyPair = ChainUtil.genKeyPair（secret）;

this.publicKey = this.keyPair.getPublic（“hex”）;

}

// Used for prining the wallet details

toString（） {

return `Wallet -

publicKey： ${this.publicKey.toString（）}`;

}

// Used for signing data hashes

sign（dataHash） {

return this.keyPair.sign（dataHash）.toHex（）;

}

// Creates and returns transactions

createTransaction（data） {

return new Transaction（data， this）;

}

// Return public key

getPublicKey（） {

return this.publicKey;

}

}

module.exports = Wallet;

pbft-wallet.js

验证者类

由于PBFT是一种许可的区块链一致性算法，我们需要存储每个节点系统中所有节点的地址。我们可以通过选择一个密钥，创建一个钱包，获取其公钥并将该密钥存储到一个文件中来手动执行此操作。当我们运行我们的项目时，它会读取此文件以获取密钥。

但是，不是手动执行此操作，我们可以通过创建类并添加可以返回N个节点的公钥列表的函数来自动执行此操作。

我们将创建一个Validator类，它将生成每个节点都知道的公钥列表。在这个项目中，我们使用了每个节点的密码短语

NODE1，NODE2，NODE3 。..。..

这样，我们就可以更容易地创建公钥列表，并使用相同的公钥从命令行创建节点。

// Import the wallet class

const Wallet = require（“。/wallet”）;

class Validators {

// constructor will take an argument which is the number of nodes in the network

constructor（numberOfValidators） {

this.list = this.generateAddresses（numberOfValidators）;

}

// This function generates wallets and their public key

// The secret key has been known for demonstration purposes

// Secret will be passed from command line to generate the same wallet again

// As a result the same public key will be generatedd

generateAddresses（numberOfValidators） {

let list = ［］;

for （let i = 0; i 《 numberOfValidators; i++） {

list.push（new Wallet（“NODE” + i）.getPublicKey（））;

}

return list;

}

// This function verfies if the passed public key is a known validator or not

isValidValidator（validator） {

return this.list.includes（validator）;

}

}

module.exports = Validators;

注意：密钥不应该公开。只有在演示中我们才使用这样的密钥。在实际项目中，发送注册请求以使节点成为验证者。如果整个网络批准此请求，则该节点将成为验证者，并将公钥添加到列表中。

Config.js文件

网络中的验证者数量可以通过命令行传递，但更容易将其存储在文件中并在需要的地方导入。

创建一个文件config.js并创建三个变量NUMBER_OF_NODES，MIN_APPROVALS和TRANSACTION_THRESHOLD

// Maximum number of transactions that can be present in a block and transaction pool

const TRANSACTION_THRESHOLD = 5;

// total number of nodes in the network

const NUMBER_OF_NODES = 3;

// Minmu number of positive votes required for the message/block to be valid

const MIN_APPROVALS = 2 * （NUMBER_OF_NODES / 3） + 1;

module.exports = {

TRANSACTION_THRESHOLD，

NUMBER_OF_NODES，

MIN_APPROVALS

};

PBFT-config.js

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