2 问题描述
假设水下声信道是理想无畸变的信道，忽略点噪声源在传播过程中的损耗。假设由m个相同的水听器任意分布在同一面组成传感器阵列，接收位于阵列远场中的n个点目标发射的信号波前，目标源和基阵位于同一平面。假设传播介质是均匀且各向同性的，远场信号波前到达基阵时可假设为平面波。
2．1 α稳定分布噪声
α稳定分布为具有更尖峰或偶然脉冲类信号和噪声提供了非常有用的理论工具，它是广义上的高斯分布，即高斯分布是它的一个特例。两者的主要区别是稳定密度比高斯密度有更厚的拖尾，稳定分布的这种特征正是用于对具有冲激特征的信号和噪声建模的主要原因之一。α稳定分布的信号没有封闭表达式，只能通过如下的特征函数描述

其中α为特征指数，表示α稳定分布概率密度函数拖尾的厚度，α值越小，其拖尾就越厚；γ为分散系数，表示α稳定分布的分散程度；β为对称参数，当β=0时，称为对称α稳定分布，记为SαS；μ表示分布的均值或中值。当α=2时，α稳定分布的特征函数与高斯分布的特征函数完全相同，这表明高斯分布时α稳定分布当α=2时的特例。0α2时的SαS分布保持了高斯分布的一些特性，但又有明显的不同。其显著特征是远离均值或中值的样本数较多，从而造成了其时间域波形上较多的尖峰脉冲。通常定义0α2的α稳定分布为低阶α稳定分布以区别与α=2的高斯分布。
2．2 定位结构
由于十字形阵具有分维特性且阵列冗余度较小，因此十字阵是较为合适的阵形，在阵列尺寸相同的情况下，五元十字阵的定向性能要优于四元十字阵。本文选取基于五元十字阵的定位结构如图l所示。建立以阵元S0为坐标原点的直角坐标系，五阵元由坐标原点的阵元S0两个相互正交的线阵S1，S3和S2，S4组成，S1，S3在x轴上，S2，S4在y轴上。

在图1坐标系中，设正交阵元间距为D，则五阵元的坐标分别为：S0(0，0，0)，S1(D／2，0，0)，S2(0，D／2，0)，S3(一D／2，0，0)和S4(0，一D／2，0)，设目标声源Ti的坐标为(xj，yj，zj)，球坐标为(r，ψ，θ)。目标声源Tj到中心点S0的距离为r，方位角为ψ，俯仰角为θ。假设声信道是理想无畸变的信道，忽略点噪声源在传播过程中的损耗，目标声源Tj以球面波形式进行传播。则各阵元接收信号的数学模型可表示为：

其中x(t)即为接收信号，即在处理器前的数据；A为m×n混叠矩阵，它为接收阵列阵元耦合矩阵；s(t)为源信号包括声信号、干扰信号等；τij为第j个源信号到达第i个接收阵元的相对时延；n(t)为m×1维噪声信号，包括外部噪声、电噪声等，通常视为高斯白噪声。在下面算法中，假设各信号问相互独立且与噪声亦相互独立。基于时差定位的关键问题就是如何消除或降低噪声、干扰信号及其混叠信号对相关求时差的影响，从而提高定位精度，这正是这种定位技术需要着重解决的问题。

3 定位算法
定位的步骤分为三步：首先是进行盲分离，第二步是时差估计，第三步是定位计算。
3．1 盲分离算法
信号传播过程会受到各种外界干扰及内部噪声的影响，测向信号处理的首要目的就是通过对接收信号的处理，消除或降低各种各样的干扰、噪声及由这些干扰和噪声引起的不确定性。盲源分离的技术采用A．Hyvarinen提出的改进ICA定点分离算法。
考虑无噪时的分量wTx的负熵近似式来求代价函数，就是寻求使用有噪观测数据x估计无噪JG(wTx)的方法进行有噪ICA。设z为一个非高斯随机变量，n是一方差为σ2的高斯噪声变量，问题就转变为如何简单地描述E{G(z)}和E{G(z+n)}之间的关系。一般来说，这个关系比较复杂，只有通过数值积分来实现。选择G(・)为一个零均值高斯随机变量的概率密度函数或与之相关的函数使之变得相对简单。零均值、方差为c2的高斯概率密度函数为：

ψc(x)的k(k>0)阶导函数表示为ψc(k)(x)，k阶积分函数为ψc(-k)(x)，其中，定义ψ(0)c(x)=ψc(x)(积分下限0可为任意值，但必须固定)。可以得到下式：

这说明，使用可以通过最大化代价函数而由有噪观测数据估计独立分量。这里称统计量为数据的高斯矩。因此，估计有噪ICA模型可以通过对拟白化后的数据x最大化如下的代价函数来实现：

其中X对于式(5)进行优化求解，可得到改进形式的定点算法。可将无噪时的所有期望(高斯矩)，由相应的一致估计(有噪数据的高斯矩)代替。因此，可得到拟白化数据的定点迭代的初步形式：

其中w*是w的更新值，在每次迭代后被归一化。在每步迭代之前，调节c使可简化式(6)的算法。最后可得拟白化数据关于偏差消除的定点算法：

其中w*是w的更新值，在每次迭代后被归一化。上述的公式每次只能得到一个独立分量，使用与无噪时相同的去相关方法，就求得所有的独立分量，从而完成分离工作。
3．2 时差估计
在完成盲分离处理后，就可以得到源信号的恢复形式。相关计算的工作就是估计两组阵列接收源信号之问的延迟△τ。对于同一个辐射源信号，由于到达位置的不同，接收到的时间也不同，这种情况下，就必须在时移中考虑两个信号的相似性，把s2(n)延迟时间τ使之变为s2(n一τ)，考察s2(n)与s2(n一τ)的相似性，即计算其相关系数rs1s2：

当τ从一∞到+∞时，rs1s2(τ)就是τ的一个函数，称rs1s2(τ)为s1(n)与s2(n-τ)的互相关系数，τ为s2(n-τ)的延迟时间，若|rs1s2(τ)|在τ0达到最大值，则τ0为这两个信号的时差即△τ。
3．3 定位计算
假设目标声源T到达阵元S1、S2、S3、S4相对与到达阵元S0的时差分别为τ01，τ02，τ03，τ04，可以得到其定位方程：