小波分析是最近十几年来发展起来的一种新的时频分析方法。它克服了短时傅里叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力。小波包分析是小波分析的延伸，其基本思想是让信息能量集中，在细节中寻找有序性，把其中的规律筛选出来，为信号提供一种更加精细的分析方法。它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高时一频分辨率。我们可以根据小波包的分解特性，利用小波包分解技术滤除干扰信号。

1 小波包分析基本原理

1.1 小波变换

信号x(t)的连续小波变换定义为：

这个公式相当于信号x(t)通过了一个传递函数为

(ω)的有限冲激带通滤波器(FIR)，选择不同的m值，相当于信号通过了不同的带通滤波器，这样就可以把不同频带的信号分离开来。

利用滤波器组实现小波变换WT的过程分析如下：被分析信号通过镜像滤波器后，信号频带被划分为低频和高频两个频带，其中的低频信号通过向下采样后，通过下一次镜像滤波器分解，再一次被划分，不断重复这个过程，通过滤波器组就能够把信号的频带划分为(ω／2j，ω／2j+1)，分解过程可以用图1表示。

图1中，Ai，Di分别表示信号的近似和细节，LPi，HPi分别表示不同尺度的低、高通滤波器。

1.2 小波包变换

小波包变换建立在小波变换的基础上，其定义为：

公式中的h0和h1相当于长度为2N的低通和高通滤波器。

利用滤波器组实现小波包变换WPT的过程类似于WT变换，两者不同之处在于WT滤波器组是对低频频带不断二进划分，而WPT是同时对高频和低频频带做二进划分，最后整个频带被划分成均匀的频带。

分解过程也可以用小波包分解树来表示，如图2所示。

图2中，LPi，HPi，L'Pi，H'Pi分别表示不同尺度、不同分支的低、高通滤波器。在这里信号S可以表示为很多种分解方式，比如：

实际的处理过程一般是根据需要解决的问题和信号的能量分布，来决定进一步分解的策略。小波包的分解方式太多，对于一维信号，每次分解把原系数分为两组系数，那么对于长度为N的信号，如果分解到L层，那么共有α=2L种分解方式。每种分解方式对应一个小波树，如果引入某种判别方法，从多个小波树挑出符合一定标准的最优小波树，运算量也可以大幅度降低。指导小波包分解的特征函数主要是信息的熵。熵是度量信息规律性的量，主要的几种熵有Shannon熵、P阶标准熵、对数能量熵、阈值熵、SURE熵，其定义就不在此详述了。

2 仿真分析实验

在Matlab环境下，利用Simulink工具箱将语音信号bluetooth.wav进行脉冲编码调制ADPCM，再经过BPSK调制被周期为64的m序列直接相乘进行扩频，扩频后信号S1(t)的带宽为896 kHz；单音频噪声S2(t)的载频为45 kHz；信噪比为-15 dB，两信号叠加得到W(t)，W(t)=S1(t)+S2(t)，如图3所示。

语音扩频信号混有单音频噪声前后的功率谱密度PSD如图4所示，受干扰前后的时域波形如图5所示。