1 前言

      半导体晶圆制造厂是公认生产管理最为复杂的工厂之一。因为其生产过程有许多异于传统的工艺特性，例如工件再回流的现象、成批加工、作业等候时限、高良率要求、机台高当机率等，以致于一般都将交期不准、在制品（WIP）过高、周期时间（CT）过长等问题归咎于其生产管理的复杂度高及系统的不稳定。同时，晶圆制造属于资本密集型产业，其设备投资庞大，运作成本高昂，使得投资者极为重视投资效益，不愿任何一台设备闲置而浪费产能，于是不断追求所有设备的完全利用。其绩效指标的追求除了交期、WIP及周期时间外，还要求机台的使用率，使用率的提高可以增加产量[1]。当某机台闲置时，管理者就会投料来满足利用率，因此出现过早投料的情形，造成大量在制品，而过多的在制品导致生产周期延长。产量对晶圆制造厂来说是基本的绩效指标，但提高产量是以牺牲周期时间为代价的，也就是说，产量的提高与周期时间的缩短是不可同时获得的。而管理者所追求的设备利用率的提高可以使产量提升。因此，随着产量的增加，设备利用率和周期时间将随之增加。对于管理者来说，需要选择一个合适的折衷方案使得在产量和周期时间之间达到最优，即选择最优的负载。本文利用效用函数和多目标决策的方法对其进行阐述并对简要说明了实际制造厂中的经济原则对周期时间的影响。

      2 建立效用函数

      效用是一个经济范畴的概念。任何一种物品的效用，是指消费者从消费该物品所感到的满足。物品的边际效用，是指该物品的消费量每增（减）一个单位所引起的总效用的增（减）量。其数学表达式为：MUx≡ΔTUx/ΔQx，其中MUx为边际效用，TUx为总效用，Qx为商品数量。对于一个理智的决策者来说，随着消费物品数量的增加，其得到的总效用也会增加，但边际效用会递减。所谓边际效用递减规律是说，随着一个人所消费的某种物品的数量增加，其总效用虽然相应的增加，但物品的边际效用（即所消费的一定量的物品中最后增加的那一个单位所增加的效用，或最后一个单位提供的效用）随所消费物品数量的增加而有递减的趋势。总效用有可能达到一个极大值，超过这一点，物品的边际效用等于零或变为负数，意指对于某种物品的消费超过一定量以后，不但不能增加消费者的满足和享受，反而会引起讨厌和损害[2]。

      本文中要对半导体制造中的产量和生产周期时间建立效用函数，即效用函数模型的两个变量是产量和周期时间，产量是指产出的速率或投料的速率。这里先要解释一下可用产能的计算方法。从OEE（Overall Equipment Efficiency）角度而言，对产能有影响的部分除了当机、预防保养时间外，对于非正常产品的加工，例如工程卡的处理时间、档控片的处理时间等，均属于无法利用的产能的损失时间，因此必须从可用的产能中扣除。此外为了维持排程的稳定性，必须再保留一部分保护性产能，也必须从可用产能中扣除。某机台某天的可用产能（ AC）可以用下面的公式来表示[3]，量纲为分钟：

      AC＝（1-DT-PM- EG-MD-PC）×1440

      式中DT：当机（Down）的时间比例； PM：预防保养的时间比例；EG：处理工程卡的时间比例；MD：处理档控片的时间比例；PC：保护性产能的时间比例。

      首先把建立效用函数的两个变量处理，使其均无量纲。令x=th÷Co，在这里Co表示理论上的可用产能，这里的产能是与产量的量纲相同的；令y=ct÷RPT，这里RPT表示原始加工时间，是指晶圆的加工时间和从机台上装和下卸晶圆片的时间，不包括等待时间，而y又称为X因素。利用[4]的研究结果：

      可以看出，两个效用函数的值都是小于等于1 的，可以将效用认为是设备的利用率来加以考虑。在式子中，有两个参数a和b，要确定这两个参数，只要在两条曲线中分别确定一点就可以确定a和b的值了。例如，当x＝1时，即实际产量与理论的名义产能相同时，此时确定产量的效用值就能确定a的值；当y＝2.2时，即周期时间是原始加工时间的2.2倍时，此时确定周期时间的效用值就能确定b的值。

      总效用函数TU（x，y），定义为线性函数TU(x,y)=w?f(x)+g(y)，其中有个参数w，是一个权重参数。x和y的关系实际是由一些离散的点组成，通过回归分析，建立一个产量与周期时间的条件函数，即φ＝(x,y)=y-1÷(m-nx)=0。

       经济学上的无差异曲线是指，曲线上的每一点，所代表的两种物品之不同数量的组合提供的总效用是相等的，无差异曲线也叫做等效曲线。在无差异曲线上，每点代表不同的产量和周期时间的组合，但总效用是相等的。本文研究的条件曲线是凸函数，而总效用函数的无差异曲线是一族凹函数，因此总会存在一个切点，此点即为最优组合点。

      现在要说明w的确定。权重因子w是产量和生产周期两种效用函数的一个客观评价，例如当w=3，是指产量效用的重要性是周期时间效用的三倍。在半导体晶圆厂，可以根据当时实际的商业环境来确定对产量和生产周期时间的喜好性。而生产中往往对 x是有限制的，如要求x≤1.2，即投料的速率不能超过可用产能的1.2倍。这里表示为x≤d。

      现在的问题就成为求

      此方程经化简，且令t=m-nx,得到

       参数根据实际情况确定后，可以用牛顿法求解。

      3 建立多目标函数

      以上效用函数仅考虑了产量和周期时间通过权重w结合的线性组合，而由Little公式[5]Average WIP=Average Throughput Rate×Average Cycle Time，还应考虑降低在制品的数量。建立目标函数G(x,y)=xy。要求这个函数的最小值，显然当x=0,y=1/m时，在制品最小为零，就是说不投料也就不会产生在制品，但这个结果是无实际意义的。

      现在的问题变为多目标决策问题令f1=G(x,y),f2=TU(x,y)。要求若干目标同时多实现最优往往是很难的，经常是有所失才有所得。由于直接解决多目标问题的最优化较困难，于是将其化为较容易求解的单目标问题。

      其中f02和f*1都是参数，f02是方程（2）的解。此时的问题是在约束0≤x≤d下，求U(X)的最大值，此类问题属于非线性规划中的约束极值问题。待定参数确定后可以解决。

      4影响周期时间的经济原则

      一般情况下随着每周投片数目的减少，周期时间也在减少，但这是有一定前提条件的。即产品需求足够多，使机台保持一定的利用率，当要生产的产品很少，或者说X因素的值是1时，即周期时间与原始加工时间大致相同，制造厂的经济原则就会发挥作用。所谓经济原则是指当设备的利用率低于某个值时，工厂就会精简一部分生产能力。这部分能力包括机台和人力资源，用以节省费用，此时的周期时间不但不会减少反而会增长，这是因为机台的冗余度减少了。我们知道，当机和瓶颈机台的利用率是影响周期时间的主要因素，而机台的冗余度也会影响着产品生产周期的长短，它是和周期时间成反方向变化的，而且机台的冗余度愈是低，当机、批量加工对生产周期的影响越是大。当一台设备没有冗余，也就是说没有备用机台，可以预见到产品的周期时间是很长的，当增加一台备用机台，使其由无备用机台别为有备用机台时，周期时间的降低最明显。随着设备组中设备数目的增加，周期时间的减少也会变得不是太明显，这也是符合边际效用递减规律的。这也就是小规模生产厂的产品生产周期时间要比大型晶圆制造厂的产品周期时间长的原因。制造厂的规模越大，机台冗余度越大，X因素的值越小，周期时间就会短。

       5 结束语

      晶圆制造中产品周期时间的长短对产品成本的高低起到了非常重要的作用，也是企业在市场中保持竞争力的关键因素，因此晶圆制造厂将会努力降低生产周期时间。本文仅是提供了优化周期时间的方法，很多具体参数还要在实际生产中才能确定。本文最后对影响周期时间的经济原则进行了阐述，针对这种现象，进行周期时间的优化时还应加入此因素的考虑，这方面还有待于进一步的研究。