在工作中，我们最佩服的一群人就是那种只用“纸和笔”就能把问题说清楚甚至解决的人，这需要超强的理论基础以及模型抽象能力——一言不合就上公式，简单、粗暴、有效。

今天，我们也来看看如何通过简单“写写画画”来设计一个FIR滤波器。

滤波器的概念相比大家都很熟悉了，一般按照频率特性可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器，这是从输出特性来说的。

设计常规滤波器的时候，我们一般采用另外一种分类，FIR（Finite Impulse Response）和IIR（Infinite Impulse Response）filter，即有限脉冲响应滤波器和无限脉冲响应滤波器。前面的文章中，我们已经介绍了，理想脉冲信号，其傅里叶变换恒为1，也就时包含了所有频率分量，是一个理想的测试信号，能够激发出所有单位频率分量的响应，因此理想脉冲信号的响应，就代表了系统的特性。

滤波器也可以看成一个系统，如果用一个理想脉冲信号激励，就会有输出，我们把输出个数有限的称为有限脉冲响应滤波器（FIR）；输出无限多的称为无限脉冲响应滤波器（IIR）。今天先说一下FIR。

一、Z传递函数的零点和极点代表什么

 域单位圆上不同的点，代表了不同的频率。

 域零极点类似的结论：

• 规律1：如果在单位圆上有零点，则在零点所对应的频率上幅值响应为零；
• 规律2：对于不在单位圆上的零点，在单位圆上离零点最近的点对应的频率上幅值响应最小。
• 规律3：对于在单位圆内部的极点，在单位圆上离极点最近的点对应的频率上幅值响应最大。
• 规律4：如果极点和零点重合，对系统的频率响应没有影响。

在“如何理解离散傅里叶变换及z变换”一文中，我们还介绍了如果一个信号的频谱如下：

也就是说，采样之后的频谱是一个周期函数，我们把 

二、零、极点分布如何影响频率响应

我们先看个简单的例子，熟悉一下套路。

细心的童鞋可能发现了另外一个端倪，你刚分析了零点，可系统明明还有一个极点啊！——没错，为你的细心点赞——我们仔细观察，发现极点正好位于圆心位置，也就是说所有频率段离极点的距离都一样，因此可以认为都没影响。

用freqz函数将系统的频响画出来，就长成下图的样子，这也印证了我们之前的分析，这个系统本质上是一个高通滤波器。

Ex2： 

很容易看出系统的零极点图如下：

显然，零小值，然后又增加，具体频响如下图，这本质上是一个低通滤波器。

。

，响应应该到达最大值。

可见，零极点的位置决定了系统在不同频率下的响应情况。

根均布在单位圆上，如下图：

我们可以画出如下的频率响应，可见其本质是一个多个带阻的滤波器。这种滤波器有啥用呢？我们知道，市电频率是50Hz，其带来的干扰一般就是50Hz其整数倍谐波100Hz、150Hz，200Hz等，选择这种数字滤波器就可以消除类似于市电50Hz带来的噪声影响。

E，与该处的零点重合，零极点如下图所示。

可见，在  处由于零极点重合，并未对系统产生影响，也就是说，如果想消除某零点给系统带来的影响，我们可以再该位置同时也放置一个极点；反之亦然。

观察一下与Ex5的频响的区别，是不是很有意思？

三、如何简单粗暴的设计一个FIR滤波器

前面套路差不多说完了——有高通、低通、带阻滤波器，好像还没有带通滤波器，下面我们就拿带通滤波器来练练手。

要求如下：在125Hz时频率响应达最大值，采样频率  。

由于125Hz是采样频率1000Hz的1/8，我们先均匀布置8个零点在单位圆上，这样就能保证有一个零点是位于125Hz处的。

则