浮点数的概念

常用的科学计数法来表示一个十进制数如

l234.75=1.23475E3=1.23475×103

在数据很大或很小时，采用科学计数避免了在有效数字前加0来确定小数点的位置，突出了数据的有效数字的位数，简化了数据的表示。可以认为，科学计数法就是十进制数的浮点数表示方法。

在二进制效中，也可以用类似的方法来表示一个数，如

1234.75=10011010010.11(二进制)=0.1001101001011×211

一般表达式为

N=S×2p

在这种表示方法中，数值由四个部分组成，即尾数S及符号，阶码P及符号。

在二进制中，通过定义相应字节或位来表示这四部分，就形成了二进制浮点数。二进制浮点数可以有多种不同的表示方法，下面是一种常见的三字节浮点数的格式：

其中尾数占16位，阶码占6位，阶符占1位，数符占1位。阶码通常用补码来表示。

在这种表示方法中，小数点的实际位置要由阶码来确定，而阶码又是可变的，因此称为浮点数。

1234.75用这种格式的浮点数表示就是：

0000 1011 1001 1010 0101 1000

用十六进制表示为

1234.75=0B9A58H

-1234.75=4B9A58H

0.171875=043B00H

-0.171875=443B00H

三字节浮点数所能表示的最大值为

1×263=9.22×1018

能表示的最小数的绝对值为

0.5×2-63=5.42×10-20

其所表示的数的绝对值范围=(5.42×10-20～9.22×1018)，由此可以看到，比三字节定点数表示的数的范围大得多。

按同样方法可以定义一个四字节的浮点数，以满足更高精度的需要。

规格化浮点数

同一个数用浮点数表示可以是不同的，如

1234.75=0B9A58H=0C4D2CH=0D2696H

虽然这几种表示其数值是相同的，但其尾数的有效数字的位数不同，分别为16位、15位和14位。在运算过程中，为了最大限度地保持运算精度，应尽量增加尾数的有效位数。这就需要对浮点数进行规格化处理。

在只考虑用二进制原码表示尾数时，尾数的最高位为l，则该浮点数为规格化浮点数。在规格化浮点数中，用尾数为0和最小阶码表示0，三字节规格化浮点数的0表示为410000H。

浮点数在运算之前和运算之后都要进行规格化，规格化过程包括以下步骤：

(1)首先判断尾是否为0，如果为0，规格化结果为410000H;

(2)如果尾数不为0，判断层数的最高位是否为1，如果不为1，尾数左移，阶码减1;

(3)再判断层数的最高位是否为1，如果不为1，继续进行规格化操作，如果为1，则规格化结束。

浮点数运算

浮点数运算包括加、减、乘、除四则运算，比较运算，开方运算，多项式运算和函数运算。其它运算都可用这些基本运算的组合来完成。本节主要介绍浮点数四则运算及其子程序。

1.浮点数的加、减运算

浮点数的运算就是求结果的尾数、数符、阶码包括阶符的过程。在加、减运算中，参加运算的浮点数的阶码可能是不同的，其尾数所代表的值也是不同的。在这种情况下，尾数不能直接相加或相减，必须首先使两个数的阶相同，这一过程称为对阶。一般是让小阶向大阶对齐，尾数相应右移。对阶相当于算术中的小数点对齐或代数中的通分。尾数相加或相减得到了结果的尾数。数符由尾数的运算结果的符号确定。阶码就是两个数中较大的阶码。

例1 计算132.25+69.75

解: 132.25+69.75=088444H+078B80H=088444H+0845C0H=08CA00H=202

由于两个浮点数的阶码分别为8和7，先将加数的阶码变为8，其尾数右移1位。两个数的阶码相同后，尾数直接相加即为和的尾数，和的尾数的最高位为1，为规格化浮点数。

例2 计算12.39-93.1

解: 12.39-93.1=04C651H-07BA33H=87A169H=-80.71

本例中被减数小于减数，差为负数，结果的数符为1。差的阶码为两个数中较大的阶码。

2.浮点数乘法运算

如果设参加运算的两个操作数分别表示为

Na=(-1)SSa×Sa×2Pa

Nb=(-1)SSb ×Sb×2Pb

它们的积为

N=Na×Nb=(-1)SSa+SSb×(Sa×Sb)×2Pa+Pb

式中SSa和SSb为两个数的数符。

乘法运算可总结为：

(1)积的数符为乘数的符号位和被乘数的符号位按模2求和，即异或;

(2)积的阶为乘数和被乘数的阶的和;

(3)积的尾数为被乘数和乘数的尾数的积。

参加运算的浮点数一般都是规格化的浮点数，尾数的积小于1，不需进行右规格化处理。但有可能小于0.5，所以需进行左规格化处理，使积为规格化浮点数。如果乘数或被乘数的尾为0、则积为410000H。由于在尾数相乘时，积的低16位不能反映在结果中，因此，积可能会产生一定的误差。

例3 算22.4l×4.23。

解: 22.41×4.23=05B349H×03875EH=07BD9AH=94.8

积的阶为乘数和被乘数的和，即8。尾数相乘时，积小于0.5，进行左规格化处理，阶码变为7。

例4 计算2586.5×(-6.91)。

解: 2586.5×(-6.91)=0CA1BOH×83DD13H=8F8BA0H=-17872

被乘数为正数，数符为0，乘数为负数，数符为1，积的数符为0⊕1=1，积为负数。

3.浮点数的除法运算

除法运算可以表示为

N=Na/Nb=[(-1)SSa×Sa×2Pa]/[(-1)SSb×Sb×2Pb ]

=(-1)SSa-SSb×(Sa/Sb) ×2Pa-Pb

浮点数的除法运算可以总结为：

(1) 商的数符为被除数与除数的符号位的差;

(2) 商的阶码为被除数和除数的阶码的差;

(3) 商的尾数为被除数和除数的尾数的商。

规格化的浮点数进行除法运算时，尾数相除，商不会小于0.5，不需进行左规格化处理。但有可能大于1，有时需进行右规格化处理。

例5 计算390.67÷14.3l。

解: 390.67÷14.31=09C357H÷04E511H=05DA4EH=27.3

商的阶码为被除数与除数的阶码的差。尾数相除时，结果的最高位为1，商为规格化浮点数。

例6 计算 -6.02÷16.157。

解: -6.02÷16.157=83C0AAH÷058143H=FFBEC8H= -0.373

异号相除时，商为负数。由于被除数的尾数大于除数的尾数，所以被除数先进行右规格化，阶码变为4，商的阶码为 -1，用补码来表示。

浮点数运算子程序

通过前面的分析可以看到，浮点运算比较复杂，有其特有的方法和规律。这里介绍几种常用的三字节浮点数运算子程序，通过分析、设计这些程序，可以进一步了解浮点数的运算过程和特点，熟悉复杂程序的设计方法。

1.浮点数通用规格化子程序

在浮点数运算过程中，有时需要左规格化，有时需要右规格化。通过规格化子程序既可实现左规格化，又可实现右规格化，其具体功能如下：

当Cy=0时，进行右规格化：F0=0时.对R6(阶)R2R3(尾数)右规格化1位;F0=1时，对R7(阶)R4R5(尾数)右规格化1位。

当Cy=1时，对R6(阶)R3R3(尾数)执行左规格化。

程序开始时，判断是执行左规格化还是右规格化。如果是右规格化，还要判断是对R6(阶)R2R3(尾数)还是对R7(阶)R4R5(尾数)进行规格化。如果是左规格化，直至把操作数变为规格化浮点数。其程序框图如图4-13所示。程序为：

FSDT: JC LNORMS

MOV C, 39H ;进行右规格化

JB F0, NR7

MOV A, R2 ;R2R3右移一位

RRC A ;(Cy)移入尾数最高位

MOV R2, A

MOV A, R3

RRC A

MOV R3, A

INC R6 ;阶码加1

RET

NR7: MOV A, R4

RRC A

MOV R4, A

MOV A, R5

RRC A

MOV R5, A

INC R7

RET

LNORMS: MOV A, R7

JNZ LSHIFT

CJNE R3, #00H, LSBIT8 ;尾数为0，阶码41H

MOV R6, #41H

LSEND : RET

LSHIFT: JB ACC.7, LSEND

LSBIT8: MOV C, F0

MOV A, R3

RLC A

MOV R3, A

MOV A, R2

RLC A

MOV R2, A

CLR F0

DEC R6

SJMP LNORMS

2.浮点数加减运算子程序

参加运算的浮点数可能是正数，也可能是负数。对于加法运算.当加数和被加数的数符相同时，尾数相加，不同时尾数相减;对于减法运算，当减数和被减数的数符相同时，尾数相减、不同时尾数相加。当两个浮点数的阶码不同时，要进行对阶，使小阶与大阶相等，因此，结果的阶码与其较大的阶码相同。

在执行加法运算时，尾数有可能大于1，因此要进行右规格化处理;执行减法运算时，尾数有可能小于0.5，因此，要进行左规格化处理。

下面是三字节浮点数加、减法处理于程序，具体功能为：

R6(阶)R2R3(尾)±R7(阶)R4R5(尾)→R4(阶)R2R3(尾);

当位3AH=0时，执行加法;

当位3AH=1时，执行减法。

程序框图如图4—14所示。程序如下：

FABP： MOV A, R6

MOV C, ACC.7

MOV 38H, C ;存被加数数符

XRL A, R7

JNB ACC.7, FAB1 ;数符相同则转

CPL 3AH ;数符不等，求反运算标志

图4-14

FAB1: MOV A, R6

MOV C, ACC.6 ;扩展阶码符号位

MOV ACC.7, C

MOV R6, A

MOV A, R7

CLR C

MOV A, R6

SUBB A, R7

JZ FAB2 ;阶码相同则转

CLR F0

JB ACC.7, FAB6

CJNE R4, #00H, FAB7

CJNE R5, #00H, FAB7

FAB2: JB 3AH, FAB9 ;转向尾数减法

MOV A, R3 ;执行尾数加法

ADD A, R5

MOV R3, A

ADD A, R2

ADDC A, R4

MOV R2, A

JNC FAB4

SETB 39H

CLR C

FAB3: CLR F0

LCALL FSDT

FAB4: CJNE R2, #00H, FAB5

CJNE R3, #00H, FAB5

MOV R4, #41 ;结果为0，规格化

RET

FAB5: MOV A, R6

MOV C, 38H

MOV ACC.7, C

XCH A, R4

MOV R6, A

RET

FAB6: CJNE R2, #00H, FAB8

CJNE R3, #00H, FAB8

MOV A, R7

MOV R6, A

SJMP FAB2

FAB7: CPL F0

FAB8: CLR C

LCALL FSDT

SJMP FAB1

FAB9: MOV A, R3 ;尾数相减

CLR C

SUBB A, R5

MOV R3, A

MOV A, R2

SUBB A, R4

MOV R2, A

JNC FAB10

CLR A

CLR C

SUBB A, R3

MOV R3, A

CLR A

SUBB A, R2

MOV R2, A

CPL 38H

FAB10: SETB C

SJMP FAB3

3. 浮点数乘法运算子程序

浮点数相乘时，阶码直接相加即获得积的阶码，尾数相乘时，结果可能小于0.5，需进行左规格化处理。下面是三字节浮点数乘法运算子程序，具体功能为：

(Ro)指向的三字节浮点数×(R1)指向的三字节浮点数→R4(阶)R2R3(尾数)。

图4-15三字节浮点数乘法的程序框图。程序为：

FMUL: LCALL FMLD ;传送浮点数

MOV A, R6 ;求积的数符

XRL A, R7

MOV C, ACC.7

MOV 38H, C

LCALL DMUL ;调用双字节无符号数乘法子程序

MOV A, R7

MOV C, ACC.7

MOV F0, C

MOV A, @R0

ADD A, @R1

MOV R6, A

SETB C

LCALL FSDT ;进行规格化操作

图4-15 三字节浮点数乘法子程序

MOV A, R6

MOV C, 38H

MOV ACC.7, C ;置积的数符

MOV R4, A

RET

注：(1)FMLD为浮点数取数子程序，功能为：将(R0)指向的三字节浮点数送入R6(阶)R2R3(尾数)中，将(R1)指向的三字节浮点数送入R7(阶)R4R5(尾数)中。

(2)DMUL为双字节无符号数乘法子程序。

4.浮点数除法运算子程序

在进行除法运算时，被除数的尾数可能比除数的尾数大很多，使结果大于1。为避免这种情况，如果被除数尾数大于除数的尾数，先将被除数的尾数右移，使其小于除数的尾数。阶码也相应增加，保持其数值不变。下面是三字节浮点数除法运算程序，其功能为：(R0)指向的三字节浮点数除以(R1)指向的三字节浮点数→R4(阶)R2R3(尾数)中。

程序框图如图4-16所示。程序为：

FDIV: LCALL FMLD

MOV A, R6

XRL A, R7 ;求商的数符

MOV C, ACC.7

MOV 38H, C

CLR A

MOV R6, A

MOV R7, A

CJNE R4, #00H, FDIV1

CJNE R5, #00H, FDIV1

SETB C

RET ;除数为0返回

FDIV1: MOV A, R3 ;比较被除数与

SUBB A, R5 ;除数的尾数

MOV A, R2

SUBB A, R4

JC FDIV2

CLR F0

CLR 39H

LCALL FDST

RRC A

MOV R7, A

CLR C

SJMP FDIV1

FDIV2: CLR A

XCH A, R6

PUSH ACC

LCALL DDIV ;调用双字节除法程序

POP ACC

ADD A, @R0

CLR C

SUBB A, @R1

MOV C, 38H

MOV ACC.7, C

MOV R4, A

CLR C

RET