1825年，Benjamin Gompertz提出了一个“S曲线”的时间序列数学模型。在数学上，它是一个双指数，公式为：y=a(exp(b(exp(-ct))，其中t为时间，a、b和c是调节S曲线陡度的可调系数。Gompertz曲线已被用于多种时间依赖模型，包括肿瘤生长、人口增长和金融市场演化。

S曲线在自然界中很常见。在任何一项新业务中或在生物学现象中都可适用，大概原理是这样：从很小的胚胎业务或者一个小细胞开始，它繁殖很慢，但是百分比增长率却很大。随着时间的推移，增长将会加速，直到最终达到饱和时才会减速。从市场角度来看，一个新产品的早期采用者要花很长一段时间来宣传它的好处，但随后它就像病毒一样传播开来，充斥市场，然后下降。在右边一半的图中,我们看到了同样的现象,图的纵轴是累计的数字。例如池塘里的水结冰，它从一些水分子开始，然后生长到一个临界核，这个临界核生长迅速，直到池塘大部分结冰。最后的一点水会在很长一段时间内结冰。用数学方法表示，累积函数的积分是曲线下的面积，它不断增加，直到S曲线趋于平缓。

典型的产品生命周期或一个行业的生命周期

下图显示S曲线的生长阶段。它开始趋于缓慢，但最高的百分比增长是在S曲线演变的早期。S的曲率向上增加，直到水平轴上约37%的时间结束，它的曲率是向下的。从数学上讲，冈帕兹函数的二阶导数是正的，直到约37%的时间完成后，二阶导数变为零。增长率变成负数，之后每年的增长率就会降低。

图Gompertz曲线的生命周期

在为IBM做的一个设计项目时，本人第一次接触Gompertz曲线，IBM希望我们每周报告在设计中完成的模拟晶体管的数量。然后，将它们的增长趋势绘制成Gompertz曲线(图4)。由于设计项目的规格不断变化，也测试了新的架构方法，模拟晶体管的数量在一段时间内保持较平缓的增长。然后，事情开始有所转变，每周完成的晶体管数量呈线性增长。对于经验不足的设计经理来说这会很高兴，并将此进展推断为尽一个早期完成项目。但有了更多的经验后，他就会意识到项目的最后五分之一将会占用超过三分之一的时间。

虽然Gompertz曲线对项目管理很有用，但它为预测一个雏形产品未来的成功提供了更多的视角。下图显示了笔记本电脑全球销售的演变。利用2001年之前的PC笔记本电脑实际出货量数据，我们可以解出Gompertz系数a、b和c，然后我们可以用这些系数来预测PC笔记本电脑累计出货量未来的增长曲线演变。图6显示了Gompertz预测与2016年报告的实际结果的对比，结果几乎相同。在2001年如果你是个人电脑业务的投资者，这对未来15年电脑笔记本市场的准确了解可能会非常有用。

总之，Gompertz曲线可以用来预测一个行业的未来。一个理想的选择将对硅晶体管的未来发展起到决定性作用，因为大量研究资金已经投入到开发硅开关的替代品上，而我们甚至不知道这需要支撑多久。你可能会想，这真的那么神奇吗？

其实Gompertz分析为我们提供了一种观点。虽然半导体工业和硅技术对某些领域来说似乎已经成熟，但我们的硅晶体管生产还处于起步阶段。到目前为止，硅晶体管的累计产量与未来相比几乎可以忽略不计。预计到2038年，硅晶体管出货量的实际增长率将继续增长。那时，Gompertz曲线表明，增长率将为零，并且在2050年或2060年某个时候达到饱和之前，增长率将逐年下降。估计到那时，我们应该已经开发出许多替代方案了。